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Trigonometría

La trigonometría es una rama de la matemática,  es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio

Historia de la trigonometría

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Razones trigonometricas

Gráficas del seno, el coseno y la tangente

Para abordad el tema de las gráficas primero necesitamos conocer algunos conceptos básicos.

PERIODO

El período de una función periódica es la parte de ésta  que, conforme se le añade a la variable independiente, hace repetir los valores de la variable dependiente.

AMPLITUD

se denomina amplitud al rango de la función.

RANGO

Se denomina rango al intervalo  entre el valor máximo y el valor mínimo.

PUNTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Los puntos máximos de una función son los que la amplitud de onda es el punto mas alto y los mínimos es el punto en que la amplitud es el punto mas bajo.

PUNTOS DE INTERSECCIÓN

Son los puntos en común que satisfacen las expresiones que forman parte de la intersección. 

 Gráfica del seno

Gráfica del coseno

Gráfica de la tangente

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Identidades trigonometricas

son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas identidades son siempre útiles para cuando necesitamos simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas, cualesquiera que sean los valores que se asignen a los ángulos para los cuales están definidas estas razones.Las identidades trigonométricas nos permiten plantear una misma expresión de diferentes formas. Para simplificar expresiones algebraicas, usamos la factorización, denominadores comunes, etc. Pero para simplificar expresiones trigonométricas utilizaremos estas técnicas en conjunto con las identidades trigonométricas.

Antes de comenzar a ver las diferentes identidades trigonométricas, debemos conocer algunos términos que usaremos bastante en trigonometría, que son las tres funciones más importantes dentro de esta. El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Otra función que utilizaremos en trigonometría es “seno”. Definiremos seno como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa en un triángulo rectángulo:

Mientras tanto la palabra tangente en matemática puede que tenga dos significados distintos. En geometría se utiliza el término de recta tangente, pero a nosotros en trigonometría nos interesa otro término que es el de tangente de un ángulo, el cual es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo , lo mimo que decir que es el valor numérico que resulta de dividir la longitud del cateto opuesto entre la del cateto adyacente al ángulo.

Ejercicios de identidades trigonometricas

Comprobar las identidades trigonométricas:
1

2



3

4
Ley de los senos y cosenos

Ley de los senos

La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

Escrita como fórmula, la ley de los senos es la siguiente:

a / sen A = b / sen B = c / sen C

Problemas aplicando la ley de los senos

Problema 1
Cuando el ángulo de elevación del sol es 64° un poste telefónico que esta inclinado un ángulo de 9° directamente frente al sol forma una sombra de 5,25 m de longitud en terreno horizontal. Calcule la longitud aproximada del poste.

Resolución: 

Problema 2
En terreno plano se encuentra dos puntos P y Q en los lados opuestos de una montaña. Para calcular la distancia entre ellos, un topógrafo escoge un punto R a 50 m de P y a continuación determina que el ángulo PQR es de 37°. Calcule la distancia de P a Q.

Resolución:

Ley de los cosenos
Ley de los senos

La ley de los senos establece que en cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante.

Escrita como fórmula, la ley de los senos es la siguiente:

a / sen A = b / sen B = c / sen C

Problemas aplicando la ley de los senos

Problema 1
Cuando el ángulo de elevación del sol es 64° un poste telefónico que esta inclinado un ángulo de 9° directamente frente al sol forma una sombra de 5,25 m de longitud en terreno horizontal. Calcule la longitud aproximada del poste.

Resolución: 

Problema 2
En terreno plano se encuentra dos puntos P y Q en los lados opuestos de una montaña. Para calcular la distancia entre ellos, un topógrafo escoge un punto R a 50 m de P y a continuación determina que el ángulo PQR es de 37°. Calcule la distancia de P a Q.

Resolución:

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos establece que c² = a² + b² - 2ab cos C.

Nos permite calcular el tercer lado desconocido cuando se conocen dos lados y el ángulo.

Igualmente,

        a² = b² + c² - 2bc cos A
    y
        b² = c² + a² - 2ca cos B

Problemas aplicando la ley de los cosenos

Problema 1:
En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x
$$$$
Solución:
Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así:

$c$ 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos C$x$ 2 = 10 2 + 6 2 − 2 ( 10 ) ( 6 ) cos 120° $x$ 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2 $x$ 2 = 100 + 36 − 120 − 1 2 $x$ 2 = 100 + 36 + 60 $x$ 2 = 196 $x$ = 14 Problema 2: En el triángulo de la figura, hallar la longitud del lado rotulado con x $$$$ Solución: Como conocemos dos lados adyacentes y el ángulo entre ellos, podemos aplicar la ley de cosenos, así: $b$ 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B $x$ 2 = 6 2 + 10 2 − 2 ( 6 ) 10 cos 45° $x$ 2 = 36 + 100 − 120 2 2 $x$ 2 = 136 − 602 $x$ 2 ≈ 51.15 $x$ ≈ 7.15

JUEVES, 13 DE MARZO DE 2014

MATEMÁTICAS II

Matemáticas II

JUEVES, 13 DE MARZO DE 2014

SEGUNDO PARCIAL

POLÍGONOS

En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de   que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado área. El polígono es el caso bidimensional del politopo, figura geométrica general definida para cualquier número de dimensiones. A su vez, un politopo de tres dimensiones se denomina poliedro, y de cuatro dimensiones se llama polícoro.

Elementos de un polígono

En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:

·         Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

·         Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.

·         Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no consecutivos

·         Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.

·         Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.

·         Ángulo interior (AI): es el ángulo formado internamente por dos lados consecutivos.

·         Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.

En un polígono regular se puede distinguir, además:

·         Centro (C): es el punto equidistante de todos los vértices y lados.

·         Ángulo central (AC): es el formado por dos segmentos de recta que parten del centro a los extremos de un lado.

·         Apotema (a): es el segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

LOS POLIGONOS  TIENEN DOS FORMAS DE CLASIFICARSE:

NUMERO DE LADOS	NOMBRE
Tiene 3 lados	Triangulo
Tiene 4 lados	Cuadrilátero
Tiene 5 lados	Pentágonos
Tiene 6 lados	Hexágonos
Tiene 7 lados	Heptágonos
Tiene 8 lados	Octágonos
Tiene 9 lados	Eneágono
Tiene 10 lados	Decágono
Tiene 11 lados	Endecágono
Tiene 12 lados	Dodecágono
Tiene 13 lados	Tridecagono
Tiene 14 lados	Tetradecagono
Tiene 15 lados	Pentadecágono

Según sus ángulos:

Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°. Todas sus diagonales son interiores

Cóncavos

Si su ángulo mide más de 180°. Si una de sus diagonales es exterior.

ÁNGULOS Y DIAGONALES EN POLÍGONOS CONVEXOS

Ángulos interiores de un polígono

Son los determinados por dos lados consecutivos. 

Suma de ángulos interiores de un polígono 

· Si n es el número de lados de un polígono: 

· Suma de ángulos de un polígono = (n − 2) · 180° 

Diagonal 

Son los segmentos que determinan dos vértices no consecutivos 

Número de diagonales de un polígono 

· Si n es el número de lados de un polígono: 

· Número de diagonales = n · (n − 3) : 2

ejemplo

4 · (4 − 3) : 2 = 2

5 · (5 − 3) : 2 = 5 

6 · (6 − 3) : 2 = 9

ÁREAS EN POLÍGONOS REGULARES

Polígonos regulares:

observando la imagen, basta sumar las áreas de triángulos iguales

h: es la altura del triangulo o apotema del polígono

b: es la base del triángulo o lado del polígono

Teoremas de ángulos dentro, sobre y fuera de la circunferencia 

Teoremas fundamentales- Ángulos

1. Teorema de las secantes
2. Teorema de la tangente y la secante
3. Teorema de las tangentes
4. Teorema de las cuerdas

Teorema de las secantes

Teorema de las Secantes: Si dos rectas secantes a un círculo se cortan en el exterior de él, el producto del segmento exterior por el segmento total en una de ellas es igual al respectivo producto en la otra secante.

Teorema de la tangente y la secante

Si un segmento tangente y un segmento secante se dibujan hacia un círculo desde un punto exterior, entonces el cuadrado de la medida del segmento tangente es igual al producto de las medidas del segmento secante y su segmento secante externo.

Teorema de las tangentes

Teorema de la geometría de triángulos que relaciona la suma y diferencia de dos lados con 

las tangentes de los ángulos correspondientes.

Teorema de las cuerdas

si en una circunferencia se tienen dos cuerdas secantes, el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

si AB y CD son cuerdas que se intersectan en un punto P cualquiera interior a la circunferencia.

Área y perímetro de una circunferencia

Área

La curva denominada circunferencia encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.

Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuando mide el radio de la circunferencia.

Llamemos r al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será:

A=π⋅r2

Veamos un ejemplo de como podemos calcular el área de una circunferencia.

 En la circunferencia de la imagen expuesta arriba se ve claramente que el área encerrada por la circunferencia es la que está en color blanco. En este caso la variable r toma el valor r=10cm. El área se calcularía de la siguiente forma:

A=π⋅r2=π⋅102=314,16 cm2

Perímetro

Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida.

De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r.

La expresión es la siguiente:

P=2⋅π⋅r

Veámoslo más claro con un ejemplo:

Tomemos la circunferencia del ejemplo anterior, que volvemos a representar a continuación:

De nuevo el parámetro r es r=10 cm.

Aplicando la fórmula explicada anteriormente se obtiene:

P=2⋅π⋅r=2⋅π⋅10=62,83 cm

Por tanto, el resultado es que el perímetro vale 62,83 cm.